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(iv)的证明:
由此可见矩阵的k重特征值不一定有k个线性无关的特征向量。
用数学归纳法证明:
上节课的例题:
矩阵A的特征值之和=trace(A) 即矩阵A的迹。
推论:若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似,反之不对。
n阶矩阵能够与对角阵相似,取决于矩阵能否有n个线性无关的特征向量。
若n阶矩阵A有n个互异的特征值,则A与对角阵相似;若矩阵A有重特征值,不能马上断言,这时要看特征向量,实际上,只要k重特征值对应k个线性无关的特征向量即可。
实对称矩阵的特征值都是实数。
证明一个数是实数,就是证明该数的共轭与该数相等。
实对阵矩阵的相异特征值所对应的特征向量必定正交。
对于一般矩阵,只能保证相异特征值所对应的特征向量线性无关。
实对阵矩阵A的k重特征值所对应的线性无关的特征向量恰好有k个。
也就是说实对称矩阵A一定与对角矩阵相似。
注意一般矩阵的k重特征值所对应的线性无关的特征向量不一定有k个,不一定与对角阵相似。
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